Laboratoire de mathématiques de Versailles

Le dernier concours du NIST pour sélectionner de nouveaux schémas de signature post-quantique qui ne reposent pas sur des réseaux structurés, a mis en évidence la cryptographie multivariée (MC) comme une alternative importante. Plusieurs candidats du second tour de ce processus de sélection font partie de cette catégorie. L'un des premiers objectifs du projet PQMC est de soutenir la communauté française afin d'améliorer les schémas sélectionnés pour le troisième round de ce processus de normalisation du NIST. Il s'agit notamment de proposer des implémentations améliorées résistantes aux attaques par canaux auxiliaires, de renforcer les preuves de sécurité et de faire progresser la cryptanalyse. Ce dernier point sera atteint par le développement d’une version améliorée de msolve, une bibliothèque open-source pour le calcul efficace des bases de Gröbner. C’est un objectif qui pourra avoir un impact significatif pour la communauté de calcul formel. Le travail d'implémentation présente plusieurs défis, comme la résistance face aux attaques par canal auxiliaire qui est un nouveau sujet de recherche. De même, la cryptanalyse de ces schémas a fait des progrès significatifs ces dernières années, et plusieurs pistes de recherche doivent être explorées. Enfin, ces schémas ont souvent subi de nombreuses attaques comme le schéma Rainbow, finaliste lors du premier concours du NIST et qui a subi une attaque dévastatrice. Il est donc important de fournir des preuves de sécurité pour ces systèmes. Un dernier objectif de PQMC est de préparer des propositions pour les initiatives de normalisation internationale à venir, telles que le concours du NIST sur la cryptographie à seuil.

En cryptographie symétrique, une technique populaire pour prouver la résistance aux attaques cryptographiques est de modéliser le comportement de la primitive en un problème d'optimisation linéaire sur les nombres entiers (Mixed Interger Linear Programming, MILP) et de le résoudre à l'aide d'un solveur générique. Cette méthode a été appliquée pour la première fois par Mouha et al. et par Wu et al. pour déterminer le nombre minimum de S-boites actives dans les cadres de la cryptanalyse différentielle et linéaire, fournissant ainsi une preuve de résistance à ces attaques classiques. Depuis, l'utilisation de solveurs MILP aussi bien pour la conception de primitives cryptographiques que pour la cryptanalyse n'a cessé de se développer. En effet, nombre de problèmes de cryptanalyses sont relativement faciles à décrire à l'aide de contraintes linéaires (le plus souvent sur les bits des états internes) et les solveurs MILP (notamment Gurobi et CPLEX) sont particulièrement efficaces pour les résoudre. Actuellement, les solveurs MILP sont principalement utilisés pour la cryptanalyse différentielle, incluant la recherche de distingueurs relativement complexes comme les boomerangs, ainsi que pour les attaques intégrales basées sur des propriétés de division. Mais nous avons atteint un point où décrire naïvement un problème cryptographique n'est plus suffisant pour espérer le résoudre en temps raisonnable. Ainsi il y a plusieurs problèmes ouverts relatifs à la programmation linéaire par contraintes appliquée à la cryptographie et le but de ce nouveau projet ANR est de les résoudre. Notre objectif principal est de gérer des problèmes cryptographiques plus complexes en améliorant les techniques de cryptanalyses et les modèles MILP d'autre part. Ce projet est composé de 4 axes de recherche: gérer des problèmes cryptographiques plus complexes, définir des modèles MILP pour chercher directement des attaques, les attaques par canaux auxiliaires et la conception de primitives.

L'objectif principal du projet est d'étudier une récente version supérieure de la connexité rationnelle pour les variétés Fano, la simple connexité rationnelle, et ses conséquences sur l'arithmétique des points rationnels. Cette notion est liée à la connexité rationnelle des espaces de modules de courbes rationnelles. La motivation principale de ce travail vient du rôle central des variétés de Fano dans le contexte de la classification birationnelle des variétés algébriques. La simple connexité rationnelle est une généralisation de la connexité rationnelle, où les courbes rationnelles sont remplacées par des surfaces. Cette condition est un analogue algébro-géométrique de la connexité simple en topologie et a des conséquences sur la structure des fibrations de Fano sur des surfaces. Afin de comprendre quelles variétés de Fano sont rationnellement simplement connexes, nous nous concentrons sur plusieurs aspects, au-delà de la géométrie des espaces de modules des courbes rationnelles sur les variétés de Fano : la positivité du deuxième caractère de Chern, l'existence de surfaces "twisting" et la géométrie des points rationnels.

La cryptologie symétrique est une branche importante et active en cybersécurité. Parmi les algorithmes symétriques, les chiffrements par bloc et les fonctions de hachage sont les plus étudiés, et sont construits en itérant plusieurs fois une fonction de tour non-linéaire. La manière la plus courante pour assurer cette non-linéarité tout en conservant de bonnes performances consiste à appliquer en parallèle plusieurs copies d'une boîte-S. Une boîte-S est une petite fonction de n bits vers m bits, qui est souvent l'unique source de non-linéarité dans la primitive. Son choix est donc crucial pour la sécurité de la construction dans son ensemble. Une des attaques les plus célèbres contre les primitives symétriques est la cryptanalyse différentielle et, pour lui résister, la boîte-S utilisée doit satisfaire certains critères. Le principal est l'uniformité différentielle. Cette quantité doit être aussi petite que possible afin de maximiser la complexité des attaques différentielles, et les fonctions ayant une uniformité différentielle minimale, appelées fonctions APN, ont fait l'objet de nombreux travaux au cours des 30 dernières années. En parallèle, le développement de nouvelles attaques a fait émerger d'autres critères de conception pour les boîtes-S. Une bonne boîte-S doit par exemple avoir une non-linéarité élevée, une faible uniformité boomerang, un haut degré algébrique, et également d'autres propriétés plus spécifiques pour résister aux attaques linéaires, boomerang, algébriques, intégrales et autres. Par ailleurs, l'augmentation du nombre d'objets connectés et l'émergence de nouvelles applications comme la cryptographie en boîte-blanche et le chiffrement homomorphe ont amené de nouveaux critères pour les primitives symétriques. En effet, les standards actuels sont trop lourds ou consomment trop d'énergie pour ces applications. Pourtant, les communications dans ces nouveaux contextes doivent être sécurisées parce qu'elles manipulent souvent des données dont la sécurité est primordiale (par ex. les implants médicaux). Enfin, les primitives cryptographiques doivent être implémentées sur toutes sortes de plates-formes et d'architectures. Ces implémentations, logicielles ou matérielles, sont des sources potentielles d'attaques par canaux auxiliaires, ce qui doit être anticipé dès la conception de la boîte-S de façon à faciliter son masquage dans une mise en oeuvre logicielle ou à permettre une implémentation matérielle "à seuil". Un des objectifs du projet Swap sera d'étudier tous ces cas d'usage et ces paradigmes d'implémentation afin d'identifier des critères de conception précis pour les boîtes-S employées. Sur la base de ces critères, nous proposerons de nouvelles constructions de boîtes-S, qui pourront alors servir dans des primitives symétriques répondant efficacement à ces cas d'usage. A la différence de contextes plus classiques, les boîtes-S conçues pour des applications ou des environnements spécifiques reposent souvent sur des composants très légers et structurés. Le deuxième objectif du projet Swap sera d'analyser l'impact en cryptanalyse de l'utilisation de boîtes-S présentant des structures de ce type. Notre but sera d'accélérer les attaques connues et également de trouver de nouveaux types d'attaques tirant parti de ces constructions ou représentations particulières. Enfin, notre dernier objectif sera d'explorer de nouvelles stratégies pour aborder le "grand problème APN", i.e., pour déterminer l'existence ou non de permutations APN dépendant d'un nombre pair de variables. Il s'agit d'un défi de longue date qui intéresse les chercheurs au-delà des préoccupations cryptographiques d'origine. Le projet Swap vise donc à réunir des experts en mathématiques discrètes, cryptanalyse et implémentations dans le but d'explorer ensemble tous les principes de conception de boîtes-S mentionnés précédemment, en mêlant étroitement le point de vue théorique, le point de vue pratique et la cryptanalyse.

En géométrie complexe, on distingue trois grandes classes de variétés selon le signe du fibré canonique. Parmi celles à fibré canonique trivial, les variétés hyperkählériennes sont les moins bien comprises, notamment faute d'exemples. Cependant, des liens subtils ont été découverts avec certaines variétés de Fano, dont la géométrie est plus accessible. L'objectif du projet est d'approfondir ces liens. Au niveau géométrique, via l'étude des variétés de Fano de type K3 : on espère leur associer des variétés hyperkählériennes construites comme espaces de cycles, ou comme espaces de modules d'objets dans la catégorie dérivée. Au niveau catégorique : la catégorie dérivée d'une variété de Fano contient parfois une sous-catégorie semblable à celle d'une variété hyperkählérienne. Au niveau des cycles algébriques : les anneaux de Chow des variétés hyperkählériennes devraient posséder de remarquables propriétés, que nous souhaitons mieux comprendre via les variétés de Fano associées.

Les algorithmes cryptographiques sont de plus en plus déployés dans diverses applications intégrées sur des périphériques connectés, comme les smartphones et les tablettes. Dans cet environnement, les capacités de l'adversaire peuvent être grandement améliorées et nous sommes amenés à considérer un adversaire qui peut accéder au code binaire, modifier son exécution, manipuler la mémoire et utiliser des outils de rétro-ingénierie existants tels que les débogueurs pour récupérer les secrets cachés. En général, les consommateurs ont une confiance implicite dans le niveau de sécurité des produits et services proposés par les fabricants et les fournisseurs de solutions. Par conséquent, c'est souvent dévastateur en termes de crédibilité technique lorsque les solutions de sécurité sont cassées avec succès et par la suite victimes de clonage ou de contrefaçon incontrôlés. L'objectif du projet SWITECH est de faire de la White-Box Cryptography (WBC) une technologie mature, en fournissant de nouvelles constructions pour les implémentations cryptographiques, en améliorant les attaques connues et en développant de nouvelles, et en créant un démonstrateurs innovant basés sur un cas d'utilisation concret pour démontrer la faisabilité des produits de sécurité implémentés purement de façon logicielle. Il s'agit d'un projet de recherche industrielle qui rassemble des cryptographes théoriques et des experts industriels dont la principale préoccupation est la sécurité de leurs produits de sécurité. Les laboratoires publics partenaires sont l'Université de Versailles et l'Université du Luxembourg. Le partenaire industriel est CryptoExperts. Outre le développement de constructions pour la cryptographie en boîte blanche sécurisées, la définition de modèles de sécurité, l'exploration de nouvelles attaques et le développement de nouveaux outils d'attaque, le projet SWITECH a pour objectif de définir un cas d'utilisation concret et de construire un démonstrateur concret pour démontrer la faisabilité des produits de sécurité en logiciel pur. Sur la base de ce cas d'utilisation, nous construirons une application mobile Android qui utilise la cryptographie en boîte blanche pour sécuriser le stockage et la dépense de pièces de cryptomonnaie. Cela nécessitera une implémentation dynamique de boîte blanche ECDSA qui peut gérer des transactions à partir de jetons.

Le projet ACHYLLES a pour objectif l'étude de schémas numériques qui préservent l'asymptotique en temps long (LTAP) pour des systèmes hyperboliques de lois de conservation avec termes sources potentiellement raides. Le projet ambitionne d'améliorer la compréhension et les performances des schémas LTAP en: 1. analysant le comportement de la dégénérescence des solutions des systèmes considérés vers la limite asymptotique, 2. proposant des benchmarks adaptés, 3. améliorant les schémas LTAP existants, 4. étendant leur éventail de possibilités afin de prendre en compte des situations atypiques. Une plate-forme de calcul open source sera également réalisée. Basée sur les techniques numériques développées dans ce projet, elle vise à être aisément adaptable à n'importe quelle application mettant en jeu des systèmes de la classe considérée.

Ce projet se situe au carrefour de l'arithmétique et de la géométrie algébrique. Il vise à faire avancer de pair les aspects arithmétiques et géométriques de la théorie de Hodge $p$-adique en se concentrant sur deux grandes questions, parmi les plus ouvertes et les plus profondes, le programme de Langlands $p$-adique pour le côté arithmétique et la correspondance de Simpson $p$-adique pour le côté géométrique. Le programme de Langlands $p$-adique a vu le jour au tournant des années 2000 avec pour objectif de comprendre comment la théorie de Hodge $p$-adique côté représentations de Galois pouvait s'incarner côté représentations de $GL_n$ (elle est en effet essentiellement absente du programme de Langlands classique). Plus précisément, il s'agit de comprendre les représentations de $GL_n$ d'une extension finie de $Q_p$ portées par la cohomologie étale $p$-adique complétée d'une tour de variétés de Shimura. Ces représentations devraient au moins ``contenir'' la théorie de Fontaine des représentations galoisiennes $p$-adiques locales associées aux formes automorphes algébriques liées aux variétés de Shimura considérées (mais aussi à des formes automorphes $p$-adiques). Ce programme $p$-adique n'en est qu'à ses débuts (il est bien compris seulement pour $GL_2(Q_p)$) mais a déjà eu des applications profondes à des théorèmes de modularité. Notre objectif est de le développer et de le généraliser, en particulier de dégager des énoncés (éventuellement conjecturaux) qui vont largement au delà des résultats actuels. La correspondance de Simpson $p$-adique, initiée récemment par Faltings, vise à décrire toutes les représentations $p$-adiques du groupe fondamental d'une variété (propre et) lisse sur un corps $p$-adique en terme d'algèbre linéaire (modules de Higgs). La théorie en est encore à ses premières phases de développement, mais elle apparaît déjà comme une avancée théorique importante, ayant de nombreuses applications potentielles profondes aussi bien arithmétiques que géométriques (représentations galoisiennes $p$-adiques, cohomologie des variétés de Shimura, uniformisation $p$-adique,...). Notre projet vise à développer la correspondance $p$-adique sur le modèle de la théorie de Simpson complexe dont elle est inspirée. Nous nous proposons, en particulier, d'étendre son champ d'applications et de décrire le plus explicitement possible son image (ce qui correspond à la partie difficile des résultats de Simpson dans le cas complexe).

MEMOVE est un projet multi- et inter-disciplinaire qui a pour objectif de développer de nouveaux outils de modélisation mathématique et numérique, ainsi que de nouveaux protocoles expérimentaux pour la compréhension de l'électroperméabilisation par micropulses, de la cellule au tissu. Le consortium est composé de quatre partenaires aux compétences complémentaires: l'équipe projet INRIA MC2, qui est l'équipe porteur de projet et le Laboratoire de Mathématiques de Versailles ont acquis une grande expérience en modélisation ainsi qu'en analyse mathématique et numérique des équations aux dérivées partielles (EDPs), tandis que l'équipe Vectorologie et thérapies anticancéreuses UMR8203 (VAT lab) à l'Institut Gustave Roussy et le laboratoire de bioingénierie Ampère à Lyon ont une grande compétence en électroporation expérimentale ainsi que dans l'étude biochimique et numérique de l'influence des champs électromagnétiques sur les cellules et les vésicules. La modélisation de l'électroporation sera effectuée grâce à une forte interaction réciproque entre les expériences et les simulations numériques: les premières donnant les informations préliminaires à l'élaboration de modèles qui permettront de mettre en évidence les phénomènes prépondérants sur lesquels se focaliseront les nouvelles expériences. Le paramétrage des modèles d'EDP est le coeur du projet. Il sera effectué grâce à des techniques d'assimilation de données actuellement développées par MC2. A l'échelle de la cellule, il s'agira d'obtenir de nouveaux modèles cellulaires décrivant à la fois la perméabilisation membranaire par micropulses et les changements électrophysiologiques à l'intérieur de la cellule pendant le processus d'électroporation (flux ioniques, gonflement de la cellule...). De plus une analyse asymptotique rigoureuse sera effectuée pour étudier l'électropermeabilisation de cellules proches, tandis que parallèlement l'homogénéisation des modèles cellulaires fourniront un premier pas dans la compréhension de l'électroporation de populations de cellules en suspension de densité différentes. Du point de vue expérimental, de nouveaux microsystèmes seront développés, de façon à effectuer à la fois l'électroporation de vésicules et sa quantification en temps réel. Ces expériences mettront en évidence les particularités de l'électroporation cellulaire comparée à celle des vésicules. A l'échelle du tissu, MEMOVE propose de développer un modèle non-linéaire de conductivité tissulaire qui sera paramétré avec les expériences sur les pommes de terre et les foies de souris, grâce à des techniques d'assimilation de données basées sur la méthode POD. L'objectif final du projet, une fois que les outils de modélisation auront été obtenus, est de développer des outils de simulation numérique qui permettent l'optimisation de l'application du pulse sur de géométries réalistes de tissus, afin de proposer un code qui puisse être utile aux cliniciens traitant par électrochimiothérapie. Le maillage complet du corps humain développé par le laboratoire Ampère sera utile pour obtenir une optimisation robuste et fiable qui donne les meilleurs paramètres d'application des pulses. Les résultats in silico seront donnés aux expérimentateurs de VAT lab afin de les tester sur les petits animaux.