Laboratoire de mathématiques d'Orsay

L'intelligence artificielle a démontré son immense potentiel en radiologie, en particulier pour l'imagerie par tomodensitométrie (CT). Néanmoins, un défi majeur est le manque de pouvoir de généralisation des modèles d'apprentissage profond standards. Récemment, les modèles de fondation (FM) ont été développés pour le traitement du langage naturel, avec un succès retentissant. Bien que des FM aient également été proposés dans certains domaines spécifiques de l'imagerie médicale, avec des résultats prometteurs, ils sont encore peu explorés, un défi majeur étant la diversité des modalités d'imagerie en médecine. Le projet FM2AI propose de tirer parti des ressources exceptionnelles de l’Entrepôt de Données de Santé de l’Assistance Publique - Hôpitaux de Paris, pour proposer un modèle de fondation ouvert, adapté à l’imagerie 3D CT abdominale, accompagné d’outils logiciels d’apprentissage machine, pour viser une intégration clinique efficace et effective du modèle. Nous concevrons des méthodes robustes d'apprentissage few-shot pour permettre l'adaptation et la généralisation du modèle de fondation à des taches diagnostiques spécifiques, telles que la classification et la segmentation d’images CT abdomino-pelviennes, sans nécessiter d'efforts massifs de réannotation ni de ressources GPU. Nous développerons des techniques originales d'estimation conformelle d'incertitude dans le cadre des prédictions multitâches, afin d'assurer fiabilité, interprétabilité, et confiance des méthodes. Nous validerons l'ensemble du processus sur trois questions cliniques à fort impact soulevées en oncologie abdominale-pelvienne, en coordination avec deux partenaires AP-HP, garantissant une adoption clinique efficace. Pour atteindre ces objectifs ambitieux, le consortium réunit quatre acteurs d'excellence de la région Île-de-France, experts dans tous les domaines concernés, allant des mathématiques appliquées, de l'apprentissage automatique, à la radiologie abdominale-pelvienne, travaillant en synergie.

This proposal is primarily interested in algebraic geometry, a field that underpins geometric intuition with the precision brought about by calculation from algebra. The algebraic information of an algebraic variety - the set of common zeros of polynomial equations – is packaged in sheaves and organized in categories, which makes it possible to study these objects by importing the tools of homological and (non-)commutative algebra. This categorical approach is natural for many of the current leading questions in mirror symmetry, birational geometry, representation theory, and theoretical physics because it serves as a bridge between the geometric and algebraic language. It is also fundamental, as many properties and even classification results are not possible without it. The proposal is deeply interdisciplinary, and it connects broad areas of algebra and geometry. It naturally splits into three parts. The first aims to investigate one of the most fundamental properties of curves, namely contractibility, with non-commutative deformation theory. It will generalize classical results using modern language, at the same time producing many new explicit examples of rational curves in threefolds. Linking contractibility and non-commutative algebra will bring deep consequences for the birational and enumerative geometry of Calabi-Yau varieties, advancing areas of string theory. The second part studies surfaces with mild positive curvature (Fano, but with ineffective anticanonical bundle). The main objective is to prove a mirror theorem, packaging physical information with tools of homological algebra. The new heuristics, definitions, and techniques will open up an avenue to investigate higher dimensional settings. The third part involves reconstructing varieties from associated categorical data. I will tackle some hard open cases, developing new tools and combining them with classical methods.

L'objectif principal de smasH est de comprendre l’émergence de structures haute-fréquences en hydrodynamique (comme la loi du -5/3 en turbulence homogène isotrope) et leur persistance générique. Ce comportement sera d’abord testé sur des modèles EDP jouets. L’expérience acquise sur ces modèles sera éprouvée via des expériences numériques sur des modèles plus réalistes pour identifier les idées et techniques qui se généralisent. En particulier, nous testerons l’hypothèse selon laquelle les lois d’échelle émergent par effet de moyenne au sein d’une dynamique microlocale plus fine sur les micro-structures. Nous clarifierons les rôles relatifs des interactions non-linéaires locales fortes et des couplages globaux faibles. La nouveauté de smash est un paradigme collaboratif impliquant des modèles mathématiques et une compréhension précise des propriétés qualitatives. La démarche sera guidée et validée par des expériences numériques et par l’expérience acquise sur des modèles physiquement réalistes par certains membres du consortium. La synergie unique de l’équipe, autant sur le plan scientifique que personnel, est un atout majeur. Le projet nécessite une expertise conjointe en physique mathématique, en analyse microlocale et en simulations. Le consortium est composé de 17 scientifiques confirmés qui apportent des compétences spécifiques mais complémentaires, adaptées aux différentes tâches envisagées. Ils ont déjà prouvé leur capacité à travailler ensemble et leur volonté de partager leur savoir avec les plus jeunes ; en attestent les nombreuses collaborations actives au sein du consortium. Le consortium sera organisé en 3 équipes géographiques (Reims, Lyon, Paris) et comporte 2 membres au niveau doctoral, 9 jeunes collaborateurs (dont 2 préparent leur HdR) et 6 chercheurs séniors. La complétion du projet formera 1 nouveau docteur, 2 post-docs et 4 étudiants de Master.

Les groupes quantiques compacts forment depuis les années 1960 un domaine très actif qui interagit avec les algèbres d'opérateurs, la théorie des représentations, les probabilités, la topologie algébrique, la géométrie non commutative et la théorie quantique de l'information. Au-delà des groupes compacts et des duaux de groupes discrets, elle englobe les déformations à la Jimbo-Drinfel'd de groupes de Lie compacts, les groupes quantiques universels de Wang, les groupes quantiques de symétries de graphes etc. Le projet ambitionne de rassembler les spécialistes français qui étudient ces objets très généraux et d'encourager l'échange d'outils techniques et de questions mathématiques. Nous avons identifié une liste de problèmes clé dans trois champs principaux. La notion de symétrie quantique relie les groupes quantiques topologiques à divers objets géométriques, analytiques ou combinatoires. Nous explorerons ce lien dans le cadre des canaux quantiques en théorie de l’information, des graphes à la fois finis et infinis et de la déformation par quantification non-formelle. En Probabilités Non Commutatives, les processus stochastiques quantiques sur les groupes quantiques ont des liens profonds avec leur structure algébrique et analytique. Nous explorerons l'existence d'analogues quantiques de la transformation RSK à l'aide de la dualité de Schur-Weyl quantique, et nous étudierons la structure des processus gaussiens et leur comportement asymptotique. En Algèbres d'Opérateurs, nous nous intéresserons à la structure des algèbres de von Neumann de groupes quantiques universels en utilisant les progrès récents reliant les actions du bord des groupes à la moyennabilité maximale. Nous explorerons également la structure des groupes quantiques d'automorphismes d'arbres localement finis en utilisant des idées provenant de la théorie géométrique des groupes.

Le thème principal de RANDOP porte sur l'étude spectrale de certains opérateurs aléatoires, en particulier les opérateurs de Schrödinger aléatoires. Une question centrale dans ce domaine, initialement motivée par des considérations physiques, est de déterminer le comportement des fonctions propres (généralisées) de tels opérateurs : sont-elles concentrées dans de petites régions de l'espace (phénomène de localisation) ou répartissent-elles de la masse (L^2) sur tout l'espace (comme pour le Laplacien) ? En nous appuyant sur nos résultats précédents sur le sujet, nous visons à aborder des questions ambitieuses sur les phénomènes de localisation et de délocalisation pour plusieurs types d'opérateurs et à explorer leurs conséquences sur certaines propriétés dynamiques et sur la théorie des matrices aléatoires.

L'étude des valeurs propres et vecteurs propres de matrices ou opérateurs non-auto-adjoints est plus délicate que dans le cas auto-adjoint, pour des raisons d'instabilité des valeurs propres. Pour autant, cette étude est cruciale dans le cadre des équations aux dérivées partielles linéaires, où elle permet d'obtenir des résultats de stabilité et/ou contrôle des solutions, notamment pour l'étude des résonances. À l'heure actuelle, les résultats les plus précis sur l'asymptotique des valeurs propres utilisent l'inteprétation comme opérateurs de Berezin--Toeplitz (notamment via des noyaux de Bergman généralisés) mais ne sont valables que localement, loin des zones critiques, et au voisinage du lieu réel (ou pour des petites perturbations d'opérateurs auto-adjoints). Ces résultats sont valides sous des hypothèses de complète intégrabilité de la dynamique classique et d'analyticité du problème. Depuis très récemment, on dispose de résultats généraux concernant les opérateurs de Berezin--Toeplitz en régularité analytique, développés notamment par le coordinateur. En utilisant cette boîte à outils, nous proposons une étude systématique et globale du spectre des opérateurs de Berezin--Toeplitz non-auto-adjoints 1D. Nous allons utiliser pleinement les aspects géométriques, et notamment développer le lien avec l'espace de configurations des structures Kähleriennes (espaces de Mabuchi) : des équations de Monge-Ampère complexes gouvernent, et sont ``quantifiées'' par, ces opérateurs non-auto-adjoints. Ces équations sont sujettes à la formation de singularités en temps fini, et nous cherchons à établir le lien entre le temps d'existence et la taille maximale de la déformation non-auto-adjointe pour laquelle on peut décrire le spectre. Les liens avec Monge-Ampère dépassent le cadre des dynamiques intégrables, et nous allons également développer des outils généraux pour comprendre les dynamiques non-auto-adjointes, avec des applications à l'observabilité.

The main purpose of this proposal is to explore random planar metrics. Two canonical models of random continuum surfaces have been introduced in the past decade, namely the Brownian sphere obtained as the scaling limit of uniform random planar triangulations, and the Liouville Quantum Gravity metric obtained formally from the exponential of the Gaussian free field on the sphere. Our objective is to broaden our understanding of random planar metrics to the case of metrics with “holes” or “hubs”, and to the causal (when a time dimension is singled out) paradigm. We also plan on studying random maps in high genus and to connect to models of 2-dimensional hyperbolic geometry such as the Brook–Makover model, random pants decompositions or Weil–Petersson random surfaces. We believe that the tools developed in the context of random planar maps, such as the systematic use of the spatial Markov property, the utilization of random trees to decompose and explore the surfaces, or the fine study of geodesic coalescence can be successfully applied to the aforementioned models. We expect spectacular results and we hope to reinforce the connections between those very active fields of mathematics. This proposal should give rise to exceptionally fruitful interactions between specialists of different domains such as probability theory, two-dimensional hyperbolic geometry, and theoretical physics, as well as mathematicians coming from other areas, in particular from combinatorics. To ensure the best chances of success for the proposed research, we will rely on the unique environment of University Paris-Saclay and neighboring institutions.

Many physics models are described by waves or more generally dispersive equations (Schrödinger equations) with propagation in a non homogeneous and bounded medium. Toy models (mostly in flat backgrounds) have been developed by mathematicians. However, many questions remain open even on these simplified models in the presence of inhomogeneities and boundaries. In particular, the works of mathematicians in the last decade have allowed to exhibit some pathological behaviours which appear to be quite unstable. A first point in this proposal will be to expand the understanding of the influence of the geometry (inhomogeneities of the media, boundaries) on the behaviour of solutions to dispersive PDE’s. When these behaviours appear to be unstable, a natural question is whether they are actually rare. The last years have seen the emergence of a new point of view on these questions: random data Cauchy theories. The idea behind is that for random initial data, the solution’s behaviours are better than expected (deterministically). The second point of this project is precisely to go further in this direction. After identifying these pathological behaviours, is it possible to show that for almost all initial data, almost all geometries, they do not happen? Understanding how to combine the powerful techniques from micro-local and harmonic analysis with a probabilistic approach in this context should allow a much better understanding of these physically relevant models. Summarising, the purpose of my project is to develop tools and give answers to the following questions in the context of dispersive PDE’s (and to some extent fluids mechanics) Can we understand the influence of the geometric background (and boundaries) on concentration properties and the the behaviour of solutions to dispersive evolution PDE’s? Can we define generic behaviours for solutions to waves and fluids PDE's ? Can we show that some very pathological behaviours (which do happen) are actually very rare?

La preuve est épistémologiquement constitutive de l’activité mathématique. Fondamentale à tous les niveaux de la scolarité et de la formation, elle contribue aux processus d’apprentissage des connaissances. En appui sur le recul pris sur les EIAH, les recherches internationales sur les technologies dans les apprentissages en mathématiques en appellent à une structuration pluridisciplinaire des travaux pour analyser les usages et apports des assistants de preuve (notés AP) dans l’apprentissage de la preuve. Les AP, utilisés par les mathématiciens, sont des logiciels libres open-source vérifiant une démonstration. Ce projet a ainsi pour ambition de combler le manque de recherches en France sur l’apprentissage de la preuve, problématique à la transition secondaire-supérieur, avec une approche pluri et interdisciplinaire, combinant outils, résultats et méthodes des sciences (mathématiques et informatique) et des SHS (didactique). Il s’agit de développer et évaluer une nouvelle approche de l’enseignement de la preuve fondée sur l’adaptation et l’intégration d’AP en début d’université. Trois objectifs le structurent : Diagnostiquer les difficultés des apprenants et usages existants des AP en France ; Analyser les AP dans une perspective d’apprentissage en mathématiques ; Expérimenter et évaluer les apports des AP au début de l’enseignement supérieur dans l'enseignement des mathématiques. Les méthodes utilisées pour atteindre ces objectifs mobilisent les cadres épistémologiques, didactiques et cognitifs sur la preuve, validés à l’international, et articulent approches quantitatives et qualitatives. Les résultats de ce projet informeront chercheurs, enseignants, formateurs, décideurs des politiques éducatives sur : les difficultés des lycéens et étudiants sur la preuve, les usages et adaptations d’AP à des fins éducatives, l'évaluation des apports d’AP dans l’enseignement, et préconisations didactiques pour l’enseignement de la preuve au lycée et à l’université.

Les équations aux dérivées partielles dispersives (EDP) ont des applications importantes dans différents domaines de recherche tels que l'hydrodynamique, l'optique, la physique des plasmas et l'imagerie médicale. Dans ce projet, ces EDP, y compris dans des dimensions supérieures et dans des contextes périodiques, seront étudiées avec une combinaison innovante unique d'approches et de techniques analytiques et numériques issues de la théorie des systèmes intégrables, également appliquée aux EDP non intégrables. L'objectif est d'utiliser le pouvoir prédictif des techniques numériques pour des percées du côté analytique et un aperçu analytique des équations pour générer des schémas numériques innovants capables de relever les défis des applications numériquement. Une question importante est de savoir dans quelle mesure le comportement global des solutions d'équations ou de systèmes intégrables est vrai pour les solutions de versions non intégrables de ces équations, par exemple les systèmes de Boussinesq apparaissant dans le contexte des ondes sur l'eau, et ceci aussi pour les équations non-locales. Pour les équations intégrables avec des solutions globales, le comportement à long terme doit être déterminé. Les situations de dimension supérieure, également dans un cadre périodique, sont particulièrement intéressantes. Les connaissances analytiques à acquérir et les algorithmes numériques à développer seront directement applicables à la tomographie par impédance électrique, une forme d'imagerie médicale également applicable aussi en géologie.

En statistique et apprentissage modernes, les données sont souvent observées dans un espace ambiant de grande dimension. Des méthodes comme les forêts aléatoires ou les réseaux de neurones profonds ont récemment permis des performances remarquables dans ces cadres. Une raison est que les données peuvent souvent être expliquées par une structure de plus petite dimension effective. Dans ce contexte, les méthodes bayésiennes comme les lois spike-and-slab, les arbres de régressions additifs bayésiens (BART), les réseaux de neurones bayésiens et les processus gaussiens profonds sont fréquemment utilisées en statistique et pour des applications comme l’astrophysique ou la génomique. Parmi les raisons de leur popularité on peut citer : leur flexibilité, puisqu’il est relativement aisé de modéliser une structure inconnue sous-jacente à travers une loi a priori; la palette étendue de méthodes de simulation disponibles, en particulier variationnelles; leur capacité à quantifier l’incertitude à travers les régions de crédibilité. Les succès empiriques sont nombreux, mais il y a un besoin important de compréhension et de validation de ces méthodes. Mathématiquement, il s’agit de comprendre et de démontrer sous quelles conditions de tels algorithmes sont effectivement pertinents. Le projet BACKUP obtiendra des garanties théoriques pour ces méthodes, suivant trois axes de recherche. Le premier concerne l’utilisation de lois a posteriori bayésiennes dans des modèles de grande dimension et à variables latentes, pour résoudre des questions de tests multiples et de sélection de variables. Le second verra l’obtention de résultats fondateurs pour les forêts aléatoires et les réseaux de neurones bayésiens profonds, pour les loi a posteriori et leurs pendants variationnels. Le troisième répondra à la question fondamentale de la quantification de l’incertitude : des régions de confiance optimales seront obtenues à partir de régions de crédibilité bayésiennes bien choisies.

Ce projet se situe au coeur du programme de Langlands, à l'interface entre representations Galoisiennes et automorphes. Le but est d'étudier des familles de telles representations à l'aide de méthodes de théorie géométrique des representations. Précisément, on d'étudiera d'abord la differences entre ces objets d'un point de vue géométrique, en étudiant la densité des points automorphes dans des espaces de déformations de representations Galoisiennes globales. Ensuite, on donnera une nouvelles construction de familles de formes automorphes (variétés de Hecke) en utilisant des D-modules rigides analytiques, généralisant ainsi les constructions précédentes et introduisant des familles avec de nouvelles propriétés arithmétiques. Enfin, on étudiera une version locale des espaces de modules de representations Galoisiennes : le champ des $(\Phi,\Gamma)$-modules, et on étudiera sa catégorie de faisceaux cohérent, et on espère construire une partie de la naissante correspondance de Langlands catégorique à valeurs dans cette catégorie. Ces trois objectives sont interdépendants : la densité des points automorphes se fait par exemple via la construction de familles de formes automorphes (à travers la fougère infinie), et ces familles permettent aussi de construire des complexes de faisceaux cohérents sur le champ des $(\Phi,\Gamma)$-modules de manière globale. Enfin la géométrie de ce champ permet en retour d'étudier les propriétés géométriques des variétés de Hecke.