GAMME — Groupes, Actions, Métriques, Mesures et théorie Ergodique

L'objectif de ce projet est de rassembler des chercheurs français mais aussi européens de premier plan travaillant dans des domaines liés à la théorie géométrique/mesurée des groupes, aux probabilités et à la dynamique. Ces sujets ont connu des avancées majeures au cours des quinze dernières années, et ce grâce à une intégration croissante entre ces différentes thématiques. Nous souhaitons également, à travers la création de positions postdoctorales, de conférences et de cours avancés, disséminer un savoir acquis à l'échelle internationale, et stimuler de jeunes mathématiciens à travailler à l'intersection de plusieurs domaines riches en problèmes excitants et interdisciplinaires. Notre projet scientifique aborde plusieurs branches de la théorie géométrique et mesurée des groupes. Il s'attaque à cinq thèmes principaux, et s'organise autour de quatre tâches (en fait cinq s'il on tient compte de l'organisation d'évènements scientifiques). Donnons à présent un court aperçu de ces thématiques. Le premier thème traite des interactions entre la structure algébrique des groupes localement compacts et leurs propriétés géométriques et ergodiques. Il nous semble important d'insister sur le fait que notre but est soit d'explorer des phénomènes spécifiques au monde non-discret, soit d'exploiter les groupes localement compacts afin d'obtenir des résultats nouveau y compris dans le cas discret. L'un des coordinateurs, Romain Tessera, a obtenu d'importants résultats dans cette direction. Notre second thème est lié à la notion de relation d'équivalence mesurée et se focalise principalement sur deux important problèmes ouverts: le problème du Prix fixe et le problème du coût vs nombres de Betti L2. Ces problèmes ont leur origine dans un travail fondamental du deuxième coordinateur, Damien Gaboriau en 2002. Ces deux problèmes ont de profondes conséquences en théorie de l'équivalence mesurée, en théorie des invariants L2, pour les algèbres de von Neumann, et en percolation. Au lieu d'un thème, notre troisième partie rassemble plusieurs techniques probabilistes en théorie ergodique: la percolation, la notion de sous-groupe aléatoire invariant, et la frontière de Poisson. Il s'agit d'un vaste sujet, intimement lié aux thèmes précédents, tout en possédant lui-même de fascinants problèmes ouverts. Nous nous attendons à des va-et-vient fructueux entre la théorie ergodique et ces approches probabilistes. Le quatrième thème combine les points de vue géométrique et mesuré de manière très intriquée. L'équivalence mesurée intégrale (IME) renforce l'équivalence mesurée en prenant en compte la géométrie à grande échelle du groupe, ce grâce à une hypothèse de premier moment fini sur le couplage mesuré. Plusieurs résultats de rigidité surprenants concernant les groupes moyennables, et les réseaux en rang 1 ont récemment porté ce thème au premier plan de la théorie géométrique des groupes. Finalement, notre dernier thème est davantage porté sur la dynamique topologique à travers les notions de soficité et de groupe plein topologique. Un développement spectaculaire en dynamique topologique est dû à Bowen qui est parvenu à définir une notion d'entropie pour des actions de groupes sofiques. La notion de groupe plein topologique est devenue incontournable en fournissant une source nouvelle d'exemples de groupes de type fini, infinis, dont certains sont simples et moyennables, voire même Liouville. L'entropie du système dynamique sous-jacent est sans doute lié aux propriétés géométriques du groupe plein. Nous avons choisi chaque membre de notre consortium en recherchant un équilibre idéal entre une grande diversité des compétences, et un lien clair avec au moins l'un des thèmes. Nous espérons parvenir à relever le défi de résoudre plusieurs sinon la plupart des problèmes qui jalonnent ce projet.