ValCoMo — Valuations, Combinatoire et Théorie des Modèles

Le but de ce projet est de renforcer les interactions entre la théorie des modèles d'un côté, la théorie de la valuation, la combinatoire et la géométrie de l'autre. La théorie des modèles moderne analyse la catégorie des ensembles définissables dans une structure du premier ordre ou dans une classe de structures. Certaines classes de structures appelées stables possèdent une notion d'indépendance utile pour obtenir des informations algébriques. Les outils théoriques ainsi développés s'appliquent alors à la géométrie algébrique ou arithmétique par le biais de certaines théories de corps avec opérateurs, et ont parfois des résultats spectaculaires comme dans les preuves par Hrushovski des conjectures de Mordell-Lang et de Manin-Mumford. Les cinq dernières années ont vu trois développements importants qui ont élargi le spectre de la théorie des modèles. Le premier est l'étude de l'indépendance dans les théories dépendantes puis dans les théories NTP2, qui permet de généraliser les techniques de la théorie de la stabilité à un contexte très large englobant tous les exemples déjà connus. Le second est l'analyse détaillée de certaines classes de corps valués munis d'un opérateur et dont la théorie est NTP2 ; elle devrait conduire à des applications géométriques intéressantes et nouvelles. Le troisième est le transfert par Hrushovski d'idées venant de la stabilité à la combinatoire additive, par le biais de l'étude d'une dimension et d'une mesure sur des structures profinies, et aboutissant en une caractérisation par Breuillard, Green et Tao des sous-groupes approximés. Nous avons divisé notre projet en quatre tâches principales : 1.Théorie des modèles des corps valués et espaces de Berkovich ; 2.Applications à la géométrie algébrique et arithmétique ; 3.Structures pseudofinies, mesures et combinatoire additive ; 4.Méthodes de théorie des modèles et néostabilité (étude de phénomènes stables dans un contexte instable). Le rôle de la quatrième tâche est de poser les fondations théoriques communes : nous étudierons les théories NTP2, des sous-classes importantes, ainsi que des extensions à la logique infinitaire ou continue. La deuxième tâche est celle qui a été la plus étudiée, mais d'importantes questions restent encore ouvertes, que nous aborderons notamment avec les nouveaux outils théoriques développés pour les théories dépendantes et NTP2. Le but de la première tâche est de développer la théorie des modèles des corps valués avec structure additionnelle, en utilisant une élimination relative des quantificateurs ou bien la logique continue, et de comprendre la relation entre la catégorie des ensembles définissables dans des corps valués algébriquement clos et les espaces de Berkovich. La troisième tâche est la plus novatrice et audacieuse, car l'utilisation de la théorie des modèles en combinatoire additive est très récente. Nous étudierons les structures profinies et leurs mesures et dimensions d'un point de vue néostable, avec pour but des applications asymptotiques en combinatoire additive. Les quatre taches sont fortement liées : les structures algébriques ont aussi une facette géométrique, et les techniques développées dans le contexte de la quatrième tâche (pure) pourront être utilisées dans les trois autres (appliquées), et les mesures et dimensions sont sous-jacentes aux quatre thèmes. Nous voulons donc combiner les compétences en théorie des modèles pure de Lyon avec celles plus appliquées des logiciens d'Orsay et de Paris, et avec celles des algébristes, géomètres et combinatoriciens qui nous ont rejoint, dans un projet commun qui utilisera les quatre tâches de façon transversale : les exemples concrets permettront de formuler des principes abstraits qui amèneront à de nouveaux résultats théoriques, ceux-ci à leur tour produisant des nouveaux outils qui seront utilisés pour étudier des exemples bien précis, peut-être même dans des domaines d'applications entièrement nouveaux.