GEODISP — Géométrie et dispersion pour les ondes nonlinéaires

La plupart des équations de type ondes (hyperboliques, Schrödinger, KdV et autres modèles dispersifs nonlinéaires) issues de modèles physiques représentent des phénomènes dans un milieu qui n’est que rarement homogène, et encore moins souvent infini. Ce n’est que récemment que l’influence de la géométrie du milieu a fait son apparition, à travers l’étude en géométrie courbe, éventuellement compacte, peu régulière, des traditionnels modèles « jouet » nonlinéaires. Nous souhaitons développer nos travaux récents dans le contexte des domaines à bord, pour mieux comprendre les problématiques classiques, existence et unicité de solutions, et surtout leur asymptotique (explosion en temps fini, scattering), en lien avec la géométrie du milieu ambiant (type de bord, obstacles multiples, interfaces…). Ces questions ont été extrêmement étudiées dans le cadre de l’équation des ondes linéaire (motivées par le développement des radars/sonars, mais aussi de la tomographie), suscitant d’importants développements d’analyse microlocale. Comprendre comment utiliser au mieux ces techniques, couplées à une analyse fine et adaptée aux questions nonlinéaires des phénomènes de dispersion ou de focalisation, est une étape, parvenir à étendre à des contextes plus réalistes physiquement des outils spécifiquement nonlinéaires mais mis au point dans le cadre rigide des modèles simples est une autre étape, l’une et l’autre nécessitant des développements concertés. De plus, comprendre les propriétés fines des solutions de modèles dispersifs, incluant des modèles réalistes, ne parait plus hors d'atteinte : domaine de validité, conditions aux limites, stabilité et instabilité nonlinéaire, et plus généralement dépassement du problème de Cauchy, en relation avec la dérivation des modèles est au coeur du présent projet.