MoGaDAuRe — Espaces de modules de representations Galoisiennes, D-modules et representations automorphes

Ce projet se situe au coeur du programme de Langlands, à l'interface entre representations Galoisiennes et automorphes. Le but est d'étudier des familles de telles representations à l'aide de méthodes de théorie géométrique des representations. Précisément, on d'étudiera d'abord la differences entre ces objets d'un point de vue géométrique, en étudiant la densité des points automorphes dans des espaces de déformations de representations Galoisiennes globales. Ensuite, on donnera une nouvelles construction de familles de formes automorphes (variétés de Hecke) en utilisant des D-modules rigides analytiques, généralisant ainsi les constructions précédentes et introduisant des familles avec de nouvelles propriétés arithmétiques. Enfin, on étudiera une version locale des espaces de modules de representations Galoisiennes : le champ des $(\Phi,\Gamma)$-modules, et on étudiera sa catégorie de faisceaux cohérent, et on espère construire une partie de la naissante correspondance de Langlands catégorique à valeurs dans cette catégorie. Ces trois objectives sont interdépendants : la densité des points automorphes se fait par exemple via la construction de familles de formes automorphes (à travers la fougère infinie), et ces familles permettent aussi de construire des complexes de faisceaux cohérents sur le champ des $(\Phi,\Gamma)$-modules de manière globale. Enfin la géométrie de ce champ permet en retour d'étudier les propriétés géométriques des variétés de Hecke.