MAGA — Monge-Ampère et Géométrie Algorithmique

L'équation de Monge-Ampère (réelle) est une équation elliptique totalement non-linéaire, dont la nature est fortement géométrique. Cette équation permet en effet de retrouver, d'après Minkowski, une hypersurface convexe à partir de la seule donnée de sa courbure gaussienne. Cette équation joue aussi un rôle central dans la théorie du transport optimal, dont les applications sont variées, notamment en physique, économie et géométrie. Cependant, la nature singulière et fortement non-linéaire de l'équation de Monge-Ampère rend sa résolution numérique difficile, et a longtemps été un obstacle au développement de méthodes numériques efficaces. Nous proposons d'attaquer ce problème par un biais original combinant le point de vue d'analystes et de géomètres algorithmiciens, tous deux représentés dans ce projet. Premièrement, nous développerons et étudierons des méthodes numériques pour résoudre l'équation de Monge-Ampère standard en dimension deux et trois. Notre objectif est de pouvoir traiter des problèmes de grande taille sans avoir besoin d'ajuster finement des paramètres. Ceci devrait permettre l'application de ces méthodes à la résolution numérique de problèmes de minimisation faisant apparaître l'opérateur de Monge-Ampère. Les applications visées incluent des problèmes de minimisation de fonctionnelles sur l'espace des fonctions convexes ou des corps convexes, mais aussi des problèmes variationnels formulés en terme de transport optimal. Nous pensons par exemple au problème de la construction de géodésiques minimisantes sur l'espace des applications préservant la mesure, donnant lieu à des solutions non déterministes à l'équation d'Euler pour les fluides incompressibles. Deuxièmement, nous étendrons l'approche géométrique à la résolution d'équations de Monge-Ampère généralisées issues notamment de l'optique anidolique. Ces équations modélisent la conception de miroirs ou de lentilles transportant l'énergie lumineuse issue d'une source vers une cible dont la forme et la distribution d'intensité est prescrite. Certaines des équations issues de l'optique anidolique appartiennent à une classe plus générales d'équations appelées "equations de jacobien généré prescrit", dont la discrétisation demandera le développement de nouveaux outils théoriques et d'algorithmes géométriques sophistiqués.