Fédération de Mathématiques de CentraleSupélec

Ce projet vise à créer, analyser et implémenter des algorithmes numériques optimaux pour deux classes d'équations aux dérivées partielles stochastiques: des équations semi-linéaires paraboliques comme celles d'Allen-Cahn, Cahn-Hilliard, Burgers, Navier-Stokes et FitzHugh-Nagumo, et des équations hyperboliques de lois de conservation scalaires comme les équations de Burgers sans viscosité. Ces équations sont perturbées par un terme de bruit, formellement représenté par la dérivée temporelle d'un processus de Wiener, lui-même défini comme une série de mouvements Browniens développée sur une base hilbertienne. Jusqu'à présent, et dans la plupart des applications, seuls des bruits de faibles dimensions, ou des bruits blancs en temps mais qui ne dépendent pas de l'espace, ont été considérés. Les principales difficultés théoriques et numériques proviennent du caractère infini dimensionnel et aléatoire des objets manipulés en tant qu'équations d'évolution stochastiques dans un espace de dimension infinie. C'est un sujet récent, très actif et aux nombreuses questions ouvertes, comparé au cas fini-dimensionnel où les ordres forts et faibles sont bien compris. A contrario pour un bruit en dimension infinie l'analyse et la simulation restent des challenges ouverts et attractifs, puisque les bruits infini-dimensionnels entrainent de faibles régularités en espace et en temps pour les solutions, ce qui conduit à des ordres de convergence numérique réduits par rapport aux cas déterministes et/ou fini-dimensionnels. Basé sur les récentes avancées théoriques dans l'analyse des EDP stochastiques et l'efficacité de certaines méthodes d’échantillonnage en dimension finie, notre objectif est d'aller au-delà de l'état de l'art dans les directions suivantes: étendre les résultats concernant les ordres faibles de convergence pour les équations semi-linéaires paraboliques stochastiques lorsque les coefficients ne sont pas globalement Lipschitz, démontrer les estimations d'erreur et les ordres de convergence pour les méthodes en volumes finis appliquées aux lois de conservation scalaires stochastiques, et concevoir des techniques efficaces de réduction de variance telles que les méthodes de Monte Carlo multi-niveaux, ou dans le contexte d'échantillonnage d’événements rares. Des résultats encourageants ont été obtenus concernant les ordres forts et faibles pour un bruit de grande dimension, ouvrant ainsi la voie à la conception de schémas d'ordre supérieur. Parallèlement à l'analyse mathématique, il est essentiel de valider les schémas d'approximations et l'analyse théorique d'erreur par des expériences numériques approfondies. La combinaison de méthodes de Monte-Carlo avancées et d'algorithmes numériques pour les EDP est une procédure non triviale dans la pratique, qui est souvent ignorée dans la littérature. Ce projet vise à examiner les aspects numériques de nouveaux schémas pour les EDP stochastiques et à créer un code adapté au traitement conjoint des estimations de type Monte-Carlo et de la structure d'approximation des équations aux dérivées partielles considérées. Des logiciels et des bibliothèques informatiques ont été développés pour la résolution des équations aux dérivées partielles, mais il semble que pour les EDP stochastiques, aucun outil de ce type ne soit disponible. Nous nous fixons comme objectif de mettre au point un tel outil pour les simulations numériques. En conclusion, le projet vise à contribuer à l'amélioration des techniques théoriques et numériques pour la simulation des EDP stochastiques par des avancées majeures dans l’analyse des propriétés propres au modèle (régularité des solutions, comportement en temps long, etc.) et le développement de simulations numériques efficaces (techniques d'implémentation, calibration de paramètres, réduction des erreurs statistiques). Ces résultats précurseurs dans le domaine pourront naturellement se propager dans diverses applications en mathématiques et dans l’industrie.